Проблема Гольдбаха

Хамза Гадоев

Решение проблемы Гольдбаха для чётных чисел

Читайте Эйлера: он — учитель всех нас. ( П. Лаплас )

В 1742 году Х. Гольдбах в письме, отправленном Л. Эйлеру, выразил такое высказывание: « По-моему, любое натуральное число n≥6 есть сумма трёх простых чисел ». Л. Эйлер в своём ответном письме написал « Я уверен, что любое чётное число n≥4 есть сумма двух простых чисел, но, к сожалению, не смотря на многие усилия, никак не смог доказать этого ».

Эти гипотезы, вместе взятые, называются гипотезами Гольдбаха-Эйлера или проблемой Гольдбаха-Эйлера. Если гипотезу Гольдбаха написать отдельно для чётных и нечётных чисел, тогда гипотезы Гольдбаха-Эйлера можно выразить следующим образом:

Бинарная гипотеза Гольдбаха ( или гипотеза Эйлера ):
« Любое чётное число n≥4 есть сумма двух простых чисел ».

Тернарная гипотеза Гольдбаха для чётных чисел:
« Любое чётное число n≥6 есть сумма трёх простых чисел ».

Тернарная гипотеза Гольдбаха для нечётных чисел:
« Любое нечётное число n≥7 есть сумма трёх простых чисел ».


Ниже мы рассмотрим бинарную гипотезу Гольдбаха ( или гипотезу Эйлера ), и тернарную гипотезу Гольдбаха для чётных чисел.

Теорема. Высказывание: «Любое чётное число n≥4 есть сумма двух простых чисел» (Бинарная гипотеза Гольдбаха или гипотеза Эйлера) — неверно.
Также, высказывание: « Любое чётное число n≥6 есть сумма трёх простых чисел » (Тернарная гипотеза Гольдбаха для чётных чисел) — неверно.

Доказательство. При доказательстве теоремы воспользуемся известными теоремами теории чисел, теории множеств, теории пределов, а также теории вероятностей.

I. Сначала докажем первую часть теоремы. Доказательство приведём для чётных чисел вида gn = 4n ( где n — натуральное число ).

Построим последовательность {gn} натуральных чисел, кратных 4

{ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , … , gn , … }.

Число gn=4n есть n-член этой последовательности.

Событие « представления чётного числа gn в виде суммы двух простых чисел » обозначим через A , а противоположное событие « не представления чётного числа gn в виде суммы двух простых чисел » обозначим через Ā .

Для событий А и Ā имеет место следующее равенство:

           P(A) + P(Ā) = 1                      ( где: P(A) — вероятность события A )

Отсюда вытекают следующие :

( P(A) = 1 ) ⇒ ( P(Ā) = 0 )            ( т. е. если A – достоверное событие,
то Ā — невозможное событие ),

( P(A) < 1 ) ⇒ ( P(Ā) > 0 )            ( т. е. если A не является достоверным событием,

то Ā — возможное событие ).

Теперь определим, которое из событий А или Ā наступает для чётного числа
gn = 4n.

Для этого , сначала построим множества В и D из 0 , а также из натуральных чисел от 1 до gn следующим образом:

B = { 0   ,   1   ,    2    ,    3    , . . . , bi , . . . , 2n–1 , 2n }  ( bi — есть i – элемент множества B ),

D = { gn , gn–1 , gn–2 , gn–3 , . . . , di , . . . , 2n+1 , 2n } ( di — есть i – элемент множества D).

Множество B состоит из 0 , а также из натуральных чисел от 1 до 2n (до поло-
вины gn), а множество D состоит из натуральных чисел от 2n до gn .

Из элементов множеств B и D построим множество F следующим образом:


F = { (0 ; gn ) , (1 ; gn-1) , (2 ; gn-2) , (3 ; gn-3), . . . , (bi ; di), . . . , (2n-1;2n+1) , (2n;2n) }
Например:      для числа g3 = 12

B = {    0     ,     1      ,     2     ,     3    ,     4    ,     5    ,    6    },

D = {    12    ,    11    ,    10    ,     9    ,     8    ,     7    ,     6    },


F = { (0;12)  ,  (1;11)  ,  (2;10)  ,  (3;9)  ,  (4;8)  ,  (5;7)  ,  (6;6) }.

Множество F состоит из 2n+1 элементов (пар) и включает в себя все (без повторения) пары натуральных чисел, сумма которых равна gn .
Для каждой пары ( bi ; di ) множества F имеет место равенство:

           bi + di = gn            ( 1 ≤ i ≤ 2n+1 )

В дальнейшем числа bi и di , сумма которых равна gn , назовём
« соответствующими » друг к другу числами (элементами).

Для пары (bi ; di) , выбранной из множества F может наступать одно из следующих элементарных событий:

ω1 :       bi — простое число ,                         di — простое число ;
ω2 :       bi — простое число ,                         di — не простое число ;
ω3 :      bi — не простое число ,                    di — простое число ;
ω4 :      bi — не простое число ,                    di — не простое число .

Для представления чётного числа gn в виде суммы двух простых чисел , множество F должно включать в себя по меньшей мере одну пару простых чисел , то есть пару (bi ; di) , где bi и di — простые числа.

Следовательно, если для пары , выбранной из множества F наступает событие ω1, это благоприятствует наступлению события А. Если же для пары, выбранной из множества F наступает одно из событий ω2 , ω3 , ω4 , то это не благоприятствует наступлению события A.

Известно, что простые числа могут встретиться только среди нечётных чисел
( кроме простого числа 2 ). Поэтому , построим подмножество B’ включающее в себя все нечётные числа из множества В. Также, построим подмножество D’ включающее в себя все нечётные числа из множества D

B’ = {     1     ,      3      ,    5     , . . . , 2n–1 },

D’ = { gn – 1 ,  gn – 3 ,  gn – 5 , . . . , 2n+1 }.

В множество B’ не включили простое чётное число 2 , потому что, при n>1 пара
( 2 ; gn – 2 ) не является парой простых чисел ( gn – 2 = 4n – 2 делится на 2 ). Поэтому, данная пара не благоприятствует наступлению события A.

Теперь построим подмножество F’ во множестве F, состоящее из пар соответствующих друг к другу элементов множеств B’ и D’


F’ = { (1; gn – 1 ) , (3; gn – 3 ) , (5; gn – 5 ) , . . . , (2n–1;2n+1) }.
Например :      для числа g8 = 32

B’ = {      1      ,       3      ,       5      ,       7      ,       9      ,      11     ,      13     ,      15     },

D’ = {    31     ,      29     ,      27     ,      25     ,      23     ,      21      ,      19     ,      17     },


F’ = { (1 ;31 ) ,  (3 ; 29) ,  (5 ;27 ) ,  (7 ; 25) ,  (9 ; 23) ,  (11 ;21 ) ,  (13 ;19 ) ,  (15 ;17 ) }.

Очевидно, что множество F’ включает в себя все пары нечётных чисел (то есть пары, которые могут быть парами простых чисел) из множества F.

Каждое из множеств B’ , D’ , F’ имеет n элементов.

Введём следующие обозначения :


pi   —   i – простое число по порядку               ( приложение 1 )

Например :      p1 = 2 , p2 = 3 , p3 = 5 , p4 = 7 , p5 = 11 , . . .

qi   —   i – непростое нечётное число по порядку

Например :      q1 = 1 , q2 = 9 , q3 = 15 , q4 = 21 , q5 = 25 , . . .

Число простых чисел во множестве B обозначим через mn , а число простых чисел во множестве D обозначим через kn . Для mn и kn верны следующие соотношения:

mn = π(2n)                          (1)
kn = π(4n) – π(2n)              (2)

( где π(n) — число простых чисел не превышающих n ).

Во множестве B имеется всего mn простых чисел вида pi . Из них mn-1 — это нечётные простые числа , потому что p1 = 2 — единственное чётное простое число.

Число чисел вида qi во множестве B обозначим через sn . Для sn верно следующее соотношение:

sn = n – (mn–1)                     (3)

потому что, во множестве B имеются всего n нечётных чисел, а из них mn–1 — это нечётные простые числа.

Множество B’ включает в себя все mn–1 простые нечётные числа и sn непростые нечётные числа из множества В. Также, множество D’ включает в себя все kn простые нечётные числа и непростые нечётные числа из множества D.

Теперь, каждое из множеств B’ , D’ , F’ разбиваем на два подмножества следующим образом:

B’ = B’1 U B’2 = {   p2      ,      p3      , . . . ,      pmn   } U {    q1      ,     q2     , . . . ,      qsn  },

D’ = D’1 U D’2 = {gn – p2 ,  gn – p3 , . . . , gn – pmn} U { gn – q1 , gn – q2 , . . . , gn – qsn },

F’ = F’1 U F’2 = { ( p2 ; gn – p2 ) , ( p3 ; gn – p3 ) , . . . , ( pmn ; gn – pmn ) } U
                         U { ( q1 ; gn – q1 ) ,  ( q2 ; gn – q2 ) , . . . , (  qsn ; gn – qsn )  }.

Где :

B’1 = { p ϵ B’ | p — простое нечётное число } ;

B’2 = { q ϵ B’ | q — непростое нечётное число } ;

D’1 = { gn – p ϵ D’ | p ϵ B’1 } ;

D’2 = { gn – q ϵ D’ | q ϵ B’2 } ;

F’1 = { (p ; gn – p) ϵ F’ | p ϵ B’1 } ;

F’2 = { (q ; gn – q) ϵ F’ | q ϵ B’2 } ;

Например :      для числа g8 = 32

B’ = B’1 U B’2 = {   3     ,     5     ,     7      ,     11      ,    13    } U {   1     ,     9      ,     15  },

D’ = D’1 U D’2 = { 29    ,    27    ,    25     ,     21     ,    19    } U {    31    ,    23     ,     17   },


F’ = F’1 U F’2 = { (3;29) , (5;27) , (7; 25) , (11;21) , (13;19) } U {(1;31) , (9; 23) , (15;17 )}.

Каждое из множеств B’1 , D’1 , F’1 имеет mn-1 элементов , каждое из множеств B’2, D’2, F’2 имеет sn элементов , а каждое из множеств B’ , D’ , F’ имеет n элементов .

Для того, чтобы наступило событие A для числа gn = 4n множество F’ должно включать в себя, по меньшей мере, одну пару простых чисел. Если же множество F’ не включает в себя ни одной пары простых чисел, тогда не наступает событие A.

Рассмотрим два случая :

1 – случай. Пусть для числа gn = 4n имеет место неравенство sn < kn .

Тогда множество D’2 не сможет включать в себя все kn простые числа множества D’, потому что sn < kn . ( Напомним, что sn – число элементов множества D’2 ). Следовательно, множество D’1 включает в себя по меньшей мере одно из kn простых чисел. Простые числа, принадлежащие множеству D’1 имеют вид gn – pi . Этим простым числам соответствуют пары ( pi ; gn – pi ) во множестве F’1. Эти пары являются парами простых чисел , потому что и pi – простые числа. По этому , во множестве F’ найдётся пара простых чисел. Следовательно, наступает
событие А.

Итак, если для чётного числа gn = 4n имеет место неравенство sn < kn ,
то A — достоверное событие , а Ā – невозможное событие.

2 – случай. Пусть для числа gn = 4n имеет место неравенство sn ≥ kn .

Тогда, в свою очередь, могут случиться ещё два случая:

A) Пусть по меньшей мере одно из kn простых чисел множества D’ принадлежат множеству D’1 , а остальные множеству D’2 . Пары, соответствующие простым числам, принадлежащим множеству D’1 принадлежат множеству F’1 и имеют вид
( pi ; gn – pi ) . Эти пары являются парами простых чисел , потому что и pi – простые числа. Поэтому , во множестве F’ найдётся пара простых чисел. Следовательно, наступает событие А, то есть число gn = 4n представляется в виде суммы двух простых чисел.

B) Пусть все kn простые числа из множества D’ принадлежат множеству D’2 . (Так может случиться, потому что sn ≥ kn . Напомним, что sn – число элементов множества D’2). Тогда, все пары множества F’ , соответствующие этим kn простым числам находятся в множестве F’2 , то есть имеют вид ( qi , gn – qi ). Эти пары не являются парами простых чисел , так как qi – не простые числа. Значит, множество F’ не имеет пару простых чисел. Следовательно, не наступает событие А , а наступает противоположное событие Ā . Иными словами , чётное число gn = 4n не представляется в виде суммы двух простых чисел. ( смотрите приложения 4 и 5 )

Итак, если для чётного числа gn = 4n имеет место неравенство sn ≥ kn ,
то A не является достоверным событием , а Ā – возможное событие.

Теперь рассмотрим , какой из перечисленных выше случаев имеет место для членов последовательности { gn } .

1. Для первых членов последовательности { gn } имеет место неравенство sn < kn .

Можно убедиться в этом воспользовавшись таблицей простых чисел
(приложение 1) и равенствами (1),(2),(3).

Например :      для числа g8 = 32            m8 = 6 , s8 = 3 , k8 = 5        ( приложение 2 ) .


Примечание :    в приложении 2 видно, что для чисел gn < 88 имеет место неравенство sn < kn .

Следовательно, имеет место 1-случай, то есть для первых членов последова- тельности { gn }    A — достоверное событие, а Ā – невозможное событие.

Иными словами, первые члены последовательности { gn } представляются в виде суммы двух простых чисел.

2. Покажем, что для достаточно больших чисел gn = 4n имеет место                                                   kn
неравенство sn ≥ kn ( то есть —— ≤ 1 ).
                                                  sn
                                         kn
Сначала покажем, что —— → 0 при n→ ∞ ( то есть, при gn → ∞ ) . Действительно,
                                         sn

                                                                                       π(4n) – π(2n)
                                                                                     —————————
            kn                       π(4n) – π(2n)                                   4n
l i m ———   =   l i m  ————————    =   l i m ———————————   =  
n→∞   sn            n→∞     n-(π(2n)-1)                n→∞      n – π(2n)+1
                                                                                     —————————
                                                                                                  4n

                  π(4n)      π(2n)                                       π(4n)       1             π(2n)
      l i m ( ——— – ———— )                       l i m ———— – — · l i m ————
      n→∞     4n           4n                                 n→∞   4n          2    n→∞   2n
=   ———————————————    =    ——————————————————   =
                    n       π(2n)       1                               1       1             π(2n)               1
      l i m ( —— – ——— + —— )                l i m —— – — · l i m ——— + l i m ——
      n→∞    4n        4n         4n                    n→∞  4       2    n→∞    2n      n→∞ 4n

                   1
            0 – — · 0
                   2                             0
=   —————————   =   ———   =   0  .
         1     1                                1
        — – — · 0 + 0                   —
        4      2                                4

Здесь мы воспользовались равенствами (1),(2),(3), а также равенствами

         π(2n)                         π(4n)
l i m ——— = 0 ;      l i m ———— = 0 ;
n→∞   2n                 n→∞   4n

которые вытекают из равенства

          π(n)
l i m ——— = 0                         (4)
n→∞   n

и из того, что последовательности

   π(2n)          π(4n)
{ ——— } и { ——— } являются подпоследовательностью
      2n               4n
                                         π(n)
последовательности  { ———  } .
                                            n

( Напомним, что если последовательность имеет предел, то тот же предел имеет и всякая её подпоследовательность ).

Верность равенства (4) непосредственно вытекает из теоремы о распределении простых чисел:

                        n
l i m ( π(n) : ——— ) = 1 .             (5)
n→∞              ln n

Действительно, запишем равенство (5) в виде:

            π(n)        1
l i m ( ——— : ——— ) = 1 .        (6)
n→∞      n          ln n

Из следующего равенства:

              1
l i m ( ——— ) = 0
n→∞    ln n

и из равенства (6) следует равенство (4) .

                                                     kn
Итак , верно равенство   l i m ——— = 0 .
                                         n→∞   sn

Отсюда вытекает, что для достаточно больших чисел gn = 4n имеет место
                           kn
неравенство   —— ≤ 1 , то есть sn ≥ kn .
                           sn

Примечание :    в приложениях 2 и 3 видно, что для чисел gn ≥ 88 имеет место неравенство sn ≥ kn и по мере возрастания n число sn всё больше возрастает по отношению к числу kn .

Таким образом, для достаточно больших членов последовательности { gn } имеет место 2-случай. ( смотрите приложения 4 и 5 )

Итак, для достаточно больших чётных чисел gn = 4n    A не является достоверным событием, а Ā — возможное событие.

Из высказывания: « Любое чётное число n≥4 есть сумма двух простых чисел » (Бинарная гипотеза Гольдбаха или гипотеза Эйлера ) в частности вытекает, что « любое чётное число вида gn = 4n есть сумма двух простых чисел » , то есть « для любого чётного числа вида gn = 4n    A — достоверное событие,
а Ā — невозможное событие ».

А в действительности, как мы видели, для достаточно больших чисел вида gn = 4n
A не является достоверным событием, а Ā — возможное событие.

Другими словами, для достаточно больших чётных чисел вида gn = 4n существует вероятность не представления в виде суммы двух простых чисел.

Значит, высказывание: «Любое чётное число n≥4 есть сумма двух простых чисел » (Бинарная гипотеза Гольдбаха или гипотеза Эйлера ) – неверно.


Что и требовалось доказать.

II. Теперь докажем вторую часть теоремы.

Пусть чётное число g >2 не является суммой двух простых чисел. Тогда чётное число g + 2 не является суммой трёх простых чисел. Покажем это.

Допустим обратное, пусть чётное число g + 2 является суммой трёх простых чисел. Чётное число можно представить в виде суммы трёх простых чисел только следующим образом:
                              pi + pj + 2          ( где pi и pj — простые числа )

Действительно, сумма трёх нечётных простых чисел не является чётным числом.
Следовательно, одно ( или все трое ) из слагаемых должно быть чётным числом. А единственным чётным простым числом является 2.

Итак ,      g + 2 = pi + pj + 2

Из этого вытекает, что g = pi + pj , то есть чётное число g является суммой двух простых чисел. А это противоречит условию.
Таким образом, наше допущение – неверное, то есть чётное число g + 2 не является суммой трёх простых чисел.

Значит, из существования вероятности не представления в виде суммы двух простых чисел чётного числа g вытекает существование вероятности не представления в виде суммы трёх простых чисел чётного числа g + 2 .

Как утвердили в доказательстве первой части теоремы , для достаточно больших чётных чисел вида gn = 4n существует вероятность не представления в виде суммы двух простых чисел. Из этого вытекает ,что для достаточно больших чётных чисел вида gn +2 = 4n +2 существует вероятность не представления в виде суммы трёх простых чисел.


 Значит, высказывание: « Любое чётное число n≥6 есть сумма трёх простых чисел » (Тернарная гипотеза Гольдбаха для чётных чисел) – неверно.
Теорема доказана.

П р и л о ж е н и я

                                      Таблица простых чисел ( до 349 )                  приложение 1

            Изменение mn , sn , kn по мере возрастания n и gn              приложение 2

        Изменение mn , sn , kn по мере возрастания n и gn                 приложение 3
                                          (в виде диаграммы)



     Изменение долей подмножеств во множествах              приложение 4
     B’ , D’ , F’ по мере возрастания n

                                                   В о    м н о ж е с т в е   B’

               для g10 = 40                         для g50 = 200                  для g40000 = 160000

                                                  В о    м н о ж е с т в е   D’

               для g10 = 40                         для g50 = 200                 для g40000 = 160000

                                                   В о    м н о ж е с т в е F’

               для g10 = 40                         для g50 = 200                 для g40000 = 160000

  Расположение простых чисел во множествах B’ и D’        приложение 5
Здесь : или * — простые нечётные числа ,
              или * — непростые нечётные числа .

   Для чётного числа g8 = 32   ( пример для 1 — случая ) :



или

Из пяти простых чисел во множестве D’, трое принадлежат подмножеству D’2 , а двое подмножеству D’1. Во множестве F’ найдётся пара простых чисел
( две пары ). Следовательно, наступает событие A.
Другими словами, число 32 можно представить в виде суммы двух простых чисел ( 32 = 3 + 29 или 32 = 13 + 19 ) .


   Для чётного числа g22 = 88   ( пример для 2A — случая ):



или

Из девяти простых чисел во множестве D’, пятеро принадлежат подмножеству D’2 , а четверо подмножеству D’1. Во множестве F’ найдётся пара простых чисел ( четыре пары ). Следовательно, наступает событие A.
Другими словами, число 88 можно представить в виде суммы двух простых чисел (88 = 5 + 83 = 17 + 71 =
29 + 59 = 41 + 47).




          Для некоторых достаточно больших чётных чисел
          вида gn = 4n           (пример для 2B — случая) :



или

Все kn простые числа во множестве D’ принадлежат подмножеству D’2.
Во множестве F’ не найдётся пары простых чисел.
Следовательно, не наступает событие A, наоборот наступает событие Ā.
Другими словами, эти чётные числа не представляются в виде суммы двух простых чисел.

                      

                      

             Л и т е р а т у р а :

1. Б.Я.Ягудаев « В мире прекрасных чисел » « O’qituvchi » Ташкент 1973 г. ( на узбекском языке ).
2. Е.С.Ляпин, А.Е.Евсеев «Алгебра и теория чисел» часть I. М., «Просвещение» 1974 г.
3. О.В.Мантуров, Ю.К.Солнцев, Ю.И.Соркин, Н.Г.Федин «Математика в понятиях, определениях и терминах» часть II. М., «Просвещение» 1982 г.

Автор : Гадоев Хамза Нурович — учитель математики и информатики .
Адрес : Республика Узбекистан Бухарская область .
E-mail : gadoyev@umail.uz

Благодарю друзей К. Рахимова и Р. Саидова за оказанную помощь при написании данной статьи.
Статья защищена авторским правом !


Данная статья переведена с узбекского языка .